



\section{静电场有限元分析}
重写微分形式的麦克斯韦方程组：
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        \nabla\times\boldsymbol{H}&=\boldsymbol{J}+\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial{t}} \\
        \nabla\times\boldsymbol{E}&=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial{t}} \\
        \nabla\cdot\boldsymbol{B}&=0 \\
        \nabla\cdot\boldsymbol{D}&=\rho \\ 
    \end{aligned}
\end{equation}
\subsection{控制方程及边界条件}
静电场的控制方程为：
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        \nabla\times\boldsymbol{E}&=0  \\
        \nabla\cdot\boldsymbol{D}&=\rho
    \end{aligned}
\end{equation}\\
静电场中电场强度$\boldsymbol{E}$为无旋场，根据矢量分析恒等式，任意一个标量函数的梯度的散度为零，因此
电场强度$\boldsymbol{E}$一般可以表示为一个标量函数的梯度：
\begin{equation}
    \boldsymbol{E}=-\nabla\varphi
\end{equation}
其中$\varphi$是电场强度的标量函数。
电位移矢量$\boldsymbol{D}$与电场强度$\boldsymbol{E}$的关系满足：
\begin{equation}
    \boldsymbol{D}=\varepsilon\boldsymbol{E}
\end{equation}
因此，静电场的泊松方程为：
\begin{equation}
\nabla\cdot\varepsilon\nabla\varphi=-\rho
\end{equation}
当场域中没有电荷分布时$(\rho=0)$，静电场的拉普拉斯方程为：
\begin{equation}
    \nabla\cdot\varepsilon\nabla\varphi=0
\end{equation}
第一类边界条件：
\begin{equation}
    \varphi=\varphi_0
\end{equation}
第二类边界条件：
\begin{equation}
    \frac{\partial\varphi}{\partial{n}}=p
\end{equation}
第三类边界条件：
\begin{equation}
    \frac{\partial\varphi}{\partial{n}} + \gamma\varphi=q
\end{equation}
式中，$p$和$q$为边界上给定的函数分布。
\subsection{有限元方程}
\subsubsection{里兹法}
控制方程对应算子$\mathcal{L}$可以表示为：
\begin{equation}
    \mathcal{L}=-\nabla\cdot\varepsilon\nabla
\end{equation}
则相应的能量泛函可以表示为：
\begin{equation}
    \mathcal{F}(\varphi)=\frac{1}{2}\int_{V} -\varphi\nabla\cdot\varepsilon\nabla\varphi \mathrm{d}V
    - \int_{V}\rho\varphi\mathrm{d}V
\end{equation}
对于线性介质，$\varepsilon$为常数，上式可以进一步表示为：
\begin{equation}
    \mathcal{F}(\varphi)=\frac{1}{2}\int_{V} -\varepsilon\varphi\nabla^{2}\varphi \mathrm{d}V
    - \int_{V}\rho\varphi\mathrm{d}V
\end{equation}
由标量格林定理有：
\begin{equation}
    \frac{1}{2}\int_{V}-\varepsilon\varphi\nabla^{2}\varphi\mathrm{d}V=\frac{1}{2}\int_{V}\varepsilon(\nabla\varphi)^{2}\mathrm{d}V
    -\frac{1}{2}\oint_{S}\varepsilon\varphi\frac{\partial\varphi}{\partial{n}}\mathrm{d}S
\end{equation}
因此，上述泛函可以表示为：
\begin{equation}
    \mathcal{F}(\varphi)=\frac{1}{2}\int_{V}\varepsilon(\nabla\varphi)^{2}\mathrm{d}V
    -\frac{1}{2}\oint_{S}\varepsilon\varphi\frac{\partial\varphi}{\partial{n}}\mathrm{d}S
    -\int_{V}\rho\varphi\mathrm{d}V
\end{equation}
将第三类边界条件带入上式面积分式中，有：
\begin{equation}
    -\frac{1}{2}\oint_{S}\varepsilon\varphi\frac{\partial\varphi}{\partial{n}}\mathrm{d}S \rightarrow
    \int_{S_{3}}\varepsilon\left(\frac{1}{2}\gamma\varphi^{2}-q\varphi\right)\mathrm{d}S
\end{equation}
注意到上式变换以后，只能考虑到第二、三类边界条件，第一类边界条件需要单独考虑。

最终得到静电场对应的泛函为：
\begin{equation}
    \mathcal{F}(\varphi)=\frac{1}{2}\int_{V}\varepsilon(\nabla\varphi)^{2}\mathrm{d}V
    -\int_{V}\rho\varphi\mathrm{d}V
    +\int_{S_{3}}\varepsilon\left(\frac{1}{2}\gamma\varphi^{2}-q\varphi\right)\mathrm{d}S
\end{equation}

\subsubsection{二维情况}

首先考虑其次诺曼边界条件，即$\gamma=q=0$，上述泛函在二维直角坐标系下可以表示为：
\begin{equation}
    \mathcal{F}(\varphi)=\frac{1}{2}\int_{S}\varepsilon\left[ \left(\frac{\partial\varphi}{\partial{x}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial{y}}\right)^{2} \right] \mathrm{d}S
    -\int_{S}\rho\varphi\mathrm{d}S
\end{equation}
将求解区域划分为$M$个单元，则整体泛函可以表示为所有单元$e$的泛函求和：
\begin{equation}
    \mathcal{F}=\sum_{e=1}^{M}\mathcal{F}^{e}\left(\varphi^{e}\right)
\end{equation}
其中：
\begin{equation}
    \mathcal{F}^{e}\left(\varphi^{e}\right)=
    \frac{1}{2}\int_{S}\varepsilon\left[ \left(\frac{\partial\varphi^{e}}{\partial{x}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial\varphi^{e}}{\partial{y}}\right)^{2} \right] \mathrm{d}S
    -\int_{S}\rho\varphi^{e}\mathrm{d}S
\end{equation}
对于二维三角形单元，进行插值：
\begin{equation}
    \varphi^{e}(x,y)=\sum_{j=1}^{3}N_{j}^{e}(x,y)\varphi_{j}^{e}
\end{equation}
插值函数可以表示为：
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        N_{j}^{e}(x,y) = \frac{1}{2\Delta^{e}}\left( a_{j}^{e} + b_{j}^{e}x + c_{j}^{e}y \right) && j=1,2,3
    \end{aligned}
\end{equation}
式中：
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        \begin{matrix}
            a_{1}^{e} = x_{2}^{e}y_{3}^{e}-x_{3}^{e}y_{2}^{e}; & b_{1}^{e} = y_{2}^{e} - y_{3}^{e}; & c_{1}^{e} = x_{3}^{e} - x_{2}^{e} \\
            a_{2}^{e} = x_{3}^{e}y_{1}^{e}-x_{1}^{e}y_{3}^{e}; & b_{2}^{e} = y_{3}^{e} - y_{1}^{e}; & c_{2}^{e} = x_{1}^{e} - x_{3}^{e} \\
            a_{3}^{e} = x_{1}^{e}y_{2}^{e}-x_{2}^{e}y_{1}^{e}; & b_{3}^{e} = y_{1}^{e} - y_{2}^{e}; & c_{3}^{e} = x_{2}^{e} - x_{1}^{e} \\
        \end{matrix}
        \\
        \begin{aligned}
            \Delta^{e} = & \frac{1}{2}\left| \begin{matrix}
                                                 1 & x_{1}^{e} & y_{1}^{e} \\
                                                 1 & x_{2}^{e} & y_{2}^{e} \\
                                                 1 & x_{3}^{e} & y_{3}^{e}
                                             \end{matrix} \right| = \frac{1}{2}\left( b_{1}^{e}c_{2}^{e} - b_{2}^{e}c_{1}^{e} \right) \\
            =            & \text{第个$e$单元的面积}
        \end{aligned}
    \end{aligned}
\end{equation}
式中，$x_{j}^{e}$和$y_{j}^{e}(j=1,2,3)$表示第$e$个单元中第$j$个结点的坐标。插值函数具有以下性质：
\begin{equation}
    N_{i}^{e}\left( x_{i}^{e},y_{j}^{e} \right) = \delta_{ij} = \left\{ \begin{matrix}
        1 & i=j    \\
        0 & i\ne j \\
    \end{matrix} \right.
\end{equation}
\begin{itemize}
    \item 在结点$i$上，$\varphi^{e}$即为结点值$\varphi_{i}^{e}$。
    \item 一个单元边上的$\varphi$值与其相对结点处的$\varphi$值无关,即位于第$j$个结点对边的位置$(x,y)$，$N_{j}^{e}(x,y)$为零，
          这一重要特征保证了单元两侧解的连续性。
\end{itemize}

将单元插值$\varphi^{e}$代入上式，并对$\varphi_{i}^{e}$求导，有：
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        \frac{\partial\mathcal{F}^{e}\left(\varphi^{e}\right)}{\partial\varphi_{i}^{e}}=
        \int_{S}\varepsilon\left( \frac{\partial N_{i}^{e}}{\partial{x}}\frac{\partial N_{j}^{e}}{\partial{x}}+\frac{\partial N_{i}^{e}}{\partial{y}}\frac{\partial N_{j}^{e}}{\partial{y}} \right)\varphi_{j}^{e} \mathrm{d}S
        -\int_{S}\rho N_{i}^{e}\mathrm{d}S
    \end{aligned}
\end{equation}
上式可以进一步整理为矩阵形式：
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        \left\{\frac{\partial\mathcal{F}^{e}\left(\varphi^{e}\right)}{\partial\varphi^{e}}\right\}=
        \left[K^{e}\right]\left\{\varphi^{e}\right\}-\left\{b^{e}\right\}
    \end{aligned}
\end{equation}
令上式等于零，可以得到：
\begin{equation}
    \left[K^{e}\right]\left\{\varphi^{e}\right\}=\left\{b^{e}\right\}
\end{equation}
其中：
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        K_{ij}^{e}=\int_{S}\varepsilon\left(\partial \frac{N_{i}^{e}}{\partial{x}}\frac{\partial N_{j}^{e}}{\partial{x}}+\frac{\partial N_{i}^{e}}{\partial{y}}\frac{\partial N_{j}^{e}}{\partial{y}} \right) \mathrm{d}S
        & \quad i,j=1,2,3 \\
    \end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        b_{i}^{e}=\int_{S}\rho N_{i}^{e}\mathrm{d}S
        & \quad i=1,2,3 \\
    \end{aligned}
\end{equation}
一般情况下，介电常数$\varepsilon$与电荷密度$\rho$在单元$e$内认为是不变的，因此可以得到上述的解析表达式：
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        K_{ij}^{e}&=\frac{1}{4\Delta^{e}}\varepsilon\left(b_{i}^{e}b_{j}^{e}+c_{i}^{e}c_{j}^{e}\right)  \\
        b_{i}^{e}&=\frac{\Delta^{e}}{3}\rho_{e}
    \end{aligned}
\end{equation}
得到了单元方程，利用单元的全局坐标，可以得到全局方程：
\begin{equation}
    \left[K\right]\left\{\varphi\right\}=\left\{b\right\}
\end{equation}
上面过程，只考虑了其次诺曼条件，现在我们考虑非齐次诺曼条件，此时$\gamma\ne 0$、$q\ne 0$，则上述泛函需要增加一项：
\begin{equation}
    \mathcal{F}_{\Gamma}(\varphi)=\int_{\Gamma_{3}}\varepsilon\left(\frac{1}{2}\gamma\varphi^{2}-q\varphi\right)\mathrm{d}\Gamma
\end{equation}
同样将边界$\Gamma$分为$M_{\Gamma}$个线单元，即：
\begin{equation}
    \mathcal{F}_{\Gamma}(\varphi)=\sum_{e=1}^{M_{\Gamma}}\mathcal{F}_{\Gamma}^{e}(\varphi^{e})
\end{equation}
式中：
\begin{equation}
    \mathcal{F}_{\Gamma}^{e}(\varphi)=\int_{\Gamma_{3}}\varepsilon\left(\frac{1}{2}\gamma(\varphi^{e})^{2}-q\varphi^{e}\right)\mathrm{d}\Gamma
\end{equation}
对线边界进行插值：
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        \varphi^{e}(x)=\sum_{j=1}^{2}N_{\Gamma,j}^{e}(x)\varphi_{j}^{e} & & j=1,2
    \end{aligned}
\end{equation}
式中：
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        N_{\Gamma, 1}^{e}(x)&=\frac{x_{2}^{e}-x}{l_{e}} \\
        N_{\Gamma, 2}^{e}(x)&=\frac{x-x_{2}^{e}}{l_{e}}
    \end{aligned}
\end{equation}
式中，$l^{e}=x_{2}^{e}-x_{1}^{e}$表示第$e$个单元的边长。\\
将上式带入边界泛函中，并对$\varphi_{i}^{e}$求导，有：
\begin{equation}
    \frac{\partial\mathcal{F}_{\Gamma}^{e}(\varphi^{e})}{\partial\varphi_{i}^{e}}=
    \int_{\Gamma_{3}}\varepsilon\left(\gamma N_{i}N_{j}\varphi_{j}^{e}-q N_{i}\right)\mathrm{d}\Gamma
\end{equation}
整理成矩阵形式：
\begin{equation}
    \left\{\frac{\partial\mathcal{F}_{\Gamma}^{e}(\varphi^{e})}{\partial\varphi^{e}}\right\}=
    \left[K_{\Gamma}^{e}\right]\left\{\varphi^{e}\right\}-\left\{b_{\Gamma}^{e}\right\}
\end{equation}
令上式等于零，可以得到：
\begin{equation}
    \left[K_{\Gamma}^{e}\right]\left\{\varphi^{e}\right\}=\left\{b_{\Gamma}^{e}\right\}
\end{equation}
式中：
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        K_{\Gamma,ij}^{e}&=\int_{\Gamma_{3}}\varepsilon\gamma N_{i}N_{j}\mathrm{d}\Gamma \\
        b_{\Gamma,i}^{e}&=\int_{\Gamma_{3}}q N_{i}\mathrm{d}\Gamma
    \end{aligned}
\end{equation}
同样，利用单元的全局坐标，可以得到全局方程：
\begin{equation}
    \left[K_{\Gamma}\right]\left\{\varphi\right\}=\left\{b_{\Gamma}\right\}
\end{equation}
结合单元方程和边界单元方程，可以得到总的全局方程：
\begin{equation}
    \left[K+K_{\Gamma}\right]\left\{\varphi\right\}=\left\{b+b_{\Gamma}\right\}
\end{equation}
第一类边界条件需要强加，对于全局编号下的第$i$个点$\varphi_{i}=\varphi_{0}$，需要令：
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        K_{ii}&=10^{70} \\
        b_{i}&=\varphi_{0}\times10^{70}
    \end{aligned}
\end{equation}
式中，$10^{70}$为任意一个很大的数。

\subsubsection{三维情况}
首先考虑其次诺曼边界条件，即$\gamma=q=0$，上述泛函在三维直角坐标系下可以表示为：
\begin{equation}
    \mathcal{F}(\varphi)=\frac{1}{2}\int_{V}\varepsilon\left[ \left(\frac{\partial\varphi}{\partial{x}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial{y}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial{z}}\right)^{2} \right] \mathrm{d}V
    -\int_{V}\rho\varphi\mathrm{d}V
\end{equation}
将求解区域划分为$M$个单元，则整体泛函可以表示为所有单元$e$的泛函求和：
\begin{equation}
    \mathcal{F}=\sum_{e=1}^{M}\mathcal{F}^{e}\left(\varphi^{e}\right)
\end{equation}
单元$e$的泛函可以表示为：
\begin{equation}
    \mathcal{F}^{e}(\varphi^{e})=\frac{1}{2}\int_{V}\varepsilon\left[ \left(\frac{\partial\varphi^{e}}{\partial{x}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial\varphi^{e}}{\partial{y}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial\varphi^{e}}{\partial{z}}\right)^{2} \right] \mathrm{d}V
    -\int_{V}\rho\varphi^{e}\mathrm{d}V
\end{equation}
对三维四面体单元进行插值：
\begin{equation}
    \varphi^{e}(x,y,z)=\sum_{j=1}^{4}N_{j}^{e}(x,y,z)\varphi_{j}^{e}
\end{equation}
插值函数可以表示为：
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        N_{j}^{e}(x,y,z) = \frac{1}{6\Delta^{e}}\left( a_{j}^{e} + b_{j}^{e}x + c_{j}^{e}y + d_{j}^{e}z \right) && j=1,2,3,4
    \end{aligned}
\end{equation}
式中：
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        a^{e} = \frac{1}{6V^{e}} \left|
        \begin{matrix}              
            \varphi_{1}^{e} & \varphi_{2}^{e} & \varphi_{3}^{e} & \varphi_{4}^{e} \\
            x_{1}^{e} & x_{2}^{e} & x_{3}^{e} & x_{4}^{e} \\
            y_{1}^{e} & y_{2}^{e} & y_{3}^{e} & y_{4}^{e} \\
            z_{1}^{e} & z_{2}^{e} & z_{3}^{e} & z_{4}^{e} \\
        \end{matrix}
        \right|=\frac{1}{6V^{e}}\left( a_{1}^{e}\varphi_{1}^{e} + a_{2}^{e}\varphi_{2}^{e} + a_{3}^{e}\varphi_{3}^{e} + a_{4}^{e}\varphi_{4}^{e} \right) \\
    \end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        b^{e} = \frac{1}{6V^{e}} \left|
        \begin{matrix} 
            1         &  1        &  1        &         1  \\
            \varphi_{1}^{e} & \varphi_{2}^{e} & \varphi_{3}^{e} & \varphi_{4}^{e} \\
            y_{1}^{e} & y_{2}^{e} & y_{3}^{e} & y_{4}^{e} \\
            z_{1}^{e} & z_{2}^{e} & z_{3}^{e} & z_{4}^{e} \\
        \end{matrix}
        \right|=\frac{1}{6V^{e}}\left( b_{1}^{e}\varphi_{1}^{e} + b_{2}^{e}\varphi_{2}^{e} + b_{3}^{e}\varphi_{3}^{e} + b_{4}^{e}\varphi_{4}^{e} \right) \\
    \end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        c^{e} = \frac{1}{6V^{e}} \left|
        \begin{matrix}
            1         &  1        &  1        &         1  \\              
            x_{1}^{e} & x_{2}^{e} & x_{3}^{e} & x_{4}^{e} \\
            \varphi_{1}^{e} & \varphi_{2}^{e} & \varphi_{3}^{e} & \varphi_{4}^{e} \\
            z_{1}^{e} & z_{2}^{e} & z_{3}^{e} & z_{4}^{e} \\
        \end{matrix}
        \right|=\frac{1}{6V^{e}}\left( c_{1}^{e}\varphi_{1}^{e} + c_{2}^{e}\varphi_{2}^{e} + c_{3}^{e}\varphi_{3}^{e} + c_{4}^{e}\varphi_{4}^{e} \right) \\
    \end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        d^{e} = \frac{1}{6V^{e}} \left|
        \begin{matrix}              
            1         &  1        &  1        &         1  \\
            x_{1}^{e} & x_{2}^{e} & x_{3}^{e} & x_{4}^{e} \\
            y_{1}^{e} & y_{2}^{e} & y_{3}^{e} & y_{4}^{e} \\
            \varphi_{1}^{e} & \varphi_{2}^{e} & \varphi_{3}^{e} & \varphi_{4}^{e} \\
        \end{matrix}
        \right|=\frac{1}{6V^{e}}\left( d_{1}^{e}\varphi_{1}^{e} + d_{2}^{e}\varphi_{2}^{e} + d_{3}^{e}\varphi_{3}^{e} + d_{4}^{e}\varphi_{4}^{e} \right) \\
    \end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        V^{e} = & \frac{1}{2}\left| \begin{matrix}
                                                 1 & x_{1}^{e} & y_{1}^{e} & z_{1}^{e} \\
                                                 1 & x_{2}^{e} & y_{2}^{e} & z_{2}^{e} \\
                                                 1 & x_{3}^{e} & y_{3}^{e} & z_{3}^{e} \\
                                                 1 & x_{4}^{e} & y_{4}^{e} & z_{4}^{e}
                                             \end{matrix} \right| = \text{第个$e$单元的体积}
    \end{aligned}
\end{equation}
式中，$x_{j}^{e}$、$y_{j}^{e}$和$z_{j}^{e}(j=1,2,3,4)$表示第$e$个单元中第$j$个结点的坐标。插值函数具有以下性质：
\begin{equation}
    N_{i}^{e}\left( x_{j}^{e},y_{j}^{e},z_{j}^{e} \right) = \delta_{ij} = \left\{ \begin{matrix}
        1 & i=j \\
        0 & i\ne j \\
    \end{matrix} \right.
\end{equation}
\begin{itemize}
    \item 在结点$i$上，$\varphi^{e}$即为结点值$\varphi_{i}^{e}$。
    \item 一个单元第$j$个结点对面位置$(x,y,z)$，$N_{j}^{e}(x,y,z)$为零，这一重要特征保证了单元两侧解的连续性。
\end{itemize}
将单元插值$\varphi^{e}$代入上式，并对$\varphi_{i}^{e}$求导，有：
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        \frac{\partial\mathcal{F}^{e}\left(\varphi^{e}\right)}{\partial\varphi_{i}^{e}}=
        \int_{V}\varepsilon\left( \frac{\partial N_{i}^{e}}{\partial{x}}\frac{\partial N_{j}^{e}}{\partial{x}}+\frac{\partial N_{i}^{e}}{\partial{y}}\frac{\partial N_{j}^{e}}{\partial{y}}+\frac{\partial N_{i}^{e}}{\partial{z}}\frac{\partial N_{j}^{e}}{\partial{z}} \right)\varphi_{j}^{e} \mathrm{d}V
        -\int_{V}\rho N_{i}^{e}\mathrm{d}V
    \end{aligned}
\end{equation}
上式可以进一步整理为矩阵形式：
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        \left\{\frac{\partial\mathcal{F}^{e}\left(\varphi^{e}\right)}{\partial\varphi^{e}}\right\}=
        \left[K^{e}\right]\left\{\varphi^{e}\right\}-\left\{b^{e}\right\}
    \end{aligned}
\end{equation}
令上式等于零，可以得到：
\begin{equation}
    \left[K^{e}\right]\left\{\varphi^{e}\right\}=\left\{b^{e}\right\}
\end{equation}
其中：
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        K_{ij}^{e}=\int_{V}\varepsilon\left( \frac{\partial N_{i}^{e}}{\partial{x}}\frac{\partial N_{j}^{e}}{\partial{x}}+\frac{\partial N_{i}^{e}}{\partial{y}}\frac{\partial N_{j}^{e}}{\partial{y}}+\frac{\partial N_{i}^{e}}{\partial{z}}\frac{\partial N_{j}^{e}}{\partial{z}} \right) \mathrm{d}V
        & \quad i,j=1,2,3 \\
    \end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        b_{i}^{e}=\int_{V}\rho N_{i}^{e}\mathrm{d}V
        & \quad i=1,2,3 \\
    \end{aligned}
\end{equation}
一般情况下，介电常数$\varepsilon$与电荷密度$\rho$在单元$e$内认为是不变的，因此可以得到上述的解析表达式：
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        K_{ij}^{e}&=\frac{1}{36V^{e}}\varepsilon\left(b_{i}^{e}b_{j}^{e}+c_{i}^{e}c_{j}^{e}+d_{i}^{e}d_{j}^{e}\right)  \\
        b_{i}^{e}&=\frac{V^{e}}{4}\rho_{e}
    \end{aligned}
\end{equation}
得到了单元方程，利用单元的全局坐标，可以得到全局方程：
\begin{equation}
    \left[K\right]\left\{\varphi\right\}=\left\{b\right\}
\end{equation}
上面过程，只考虑了其次诺曼条件，现在我们考虑非齐次诺曼条件，此时$\gamma\ne 0$、$q\ne 0$，则上述泛函需要增加一项：
\begin{equation}
    \mathcal{F}_{S}(\varphi)=\int_{S_{3}}\varepsilon\left(\frac{1}{2}\gamma\varphi^{2}-q\varphi\right)\mathrm{d}S
\end{equation}
同样将边界$S$分为$M_{S}$个线单元，即：
\begin{equation}
    \mathcal{F}_{S}(\varphi)=\sum_{e=1}^{M_{S}}\mathcal{F}_{S}^{e}(\varphi^{e})
\end{equation}
式中：
\begin{equation}
    \mathcal{F}_{S}^{e}(\varphi)=\int_{S_{3}}\varepsilon\left(\frac{1}{2}\gamma(\varphi^{e})^{2}-q\varphi^{e}\right)\mathrm{d}S
\end{equation}
对面边界进行插值：
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        \varphi^{e}(x,y)=\sum_{j=1}^{3}N_{S,j}^{e}(x,y)\varphi_{j}^{e} & & j=1,2,3
    \end{aligned}
\end{equation}
将上式带入边界泛函中，并对$\varphi_{i}^{e}$求导，有：
\begin{equation}
    \frac{\partial\mathcal{F}_{S}^{e}(\varphi^{e})}{\partial\varphi_{i}^{e}}=
    \int_{S_{3}}\varepsilon\left(\gamma N_{i}N_{j}\varphi_{j}^{e}-q N_{i}\right)\mathrm{d}S
\end{equation}
整理成矩阵形式：
\begin{equation}
    \left\{\frac{\partial\mathcal{F}_{S}^{e}(\varphi^{e})}{\partial\varphi^{e}}\right\}=
    \left[K_{S}^{e}\right]\left\{\varphi^{e}\right\}-\left\{b_{S}^{e}\right\}
\end{equation}
令上式等于零，可以得到：
\begin{equation}
    \left[K_{S}^{e}\right]\left\{\varphi^{e}\right\}=\left\{b_{S}^{e}\right\}
\end{equation}
式中：
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        K_{S,ij}^{e}&=\int_{S_{3}}\varepsilon\gamma N_{i}N_{j}\mathrm{d}S \\
        b_{S,i}^{e}&=\int_{S_{3}}q N_{i}\mathrm{d}S
    \end{aligned}
\end{equation}
同样，利用单元的全局坐标，可以得到全局方程：
\begin{equation}
    \left[K_{S}\right]\left\{\varphi\right\}=\left\{b_{S}\right\}
\end{equation}
结合单元方程和边界单元方程，可以得到总的全局方程：
\begin{equation}
    \left[K+K_{S}\right]\left\{\varphi\right\}=\left\{b+b_{S}\right\}
\end{equation}
第一类边界条件需要强加，对于全局编号下的第$i$个点$\varphi_{i}=\varphi_{0}$，需要令：
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        K_{ii}&=10^{70} \\
        b_{i}&=\varphi_{0}\times10^{70}
    \end{aligned}
\end{equation}
式中，$10^{70}$为任意一个很大的数。

\subsubsection{伽辽金法等效性}
上述方程组的残数可以表示为：
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        r=\nabla\cdot\varepsilon\nabla\varphi+\rho=0
    \end{aligned}
\end{equation}
单元$e$的残数加权可以表示为：
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        R_{i}^{e}=\int_{V}N_{i}^{e}r\mathrm{d}V
    \end{aligned}
\end{equation}
由格林定理，有：
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        \int_{V}N_{i}^{e}\nabla\cdot\varepsilon\nabla\varphi\mathrm{d}V=
        -\int_{V}\varepsilon\left(\nabla N_{i}^{e}\right)\cdot\left(\nabla\varphi\right)\mathrm{d}V
        +\int_{S}N_{i}^{e}\varepsilon\frac{\partial\varphi}{\partial{n}}\mathrm{d}S
    \end{aligned}
\end{equation}
1、二维情况
二维情况下，单元$e$的残数可以表示为：
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        R_{i}^{e}=-\int_{S}\varepsilon\left( \frac{\partial N_{i}^{e}}{\partial{x}}\frac{\partial\varepsilon}{\partial{x}}+\frac{\partial N_{i}^{e}}{\partial{y}}\frac{\partial\varepsilon}{\partial{y}} \right)\mathrm{d}S
        +\int_{S}\rho N_{i}^{e}\mathrm{d}S
        +\int_{\varGamma_{e}}N_{i}^{e}\varepsilon\frac{\partial\varphi}{\partial{n}}\mathrm{d}\varGamma
    \end{aligned}
\end{equation}

2、三维情况
三维情况下，单元$e$的残数可以表示为：
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        R_{i}^{e}=-\int_{V}\varepsilon\left( \frac{\partial N_{i}^{e}}{\partial{x}}\frac{\partial\varepsilon}{\partial{x}}+\frac{\partial N_{i}^{e}}{\partial{y}}\frac{\partial\varepsilon}{\partial{y}}+\frac{\partial N_{i}^{e}}{\partial{z}}\frac{\partial\varepsilon}{\partial{z}} \right)\mathrm{d}V
        +\int_{V}\rho N_{i}^{e}\mathrm{d}V
        +\int_{S_{e}}N_{i}^{e}\varepsilon\frac{\partial\varphi}{\partial{n}}\mathrm{d}S
    \end{aligned}
\end{equation}

\subsection{工程常用边界条件}
数学上的三类边界条件在工程中又有很多的繁衍，如：

1、给定边界上的电位  \\
对应第一类边界条件，即在边界上施加指定的电位，如：
\begin{equation}
    \varphi_{\tau}=\varphi_{0}
\end{equation}
2、奇对称边界条件  \\
对应第二类边界条件，即在边界上施加奇对称的电场，如：
\begin{equation}
    \left(\frac{\partial\varphi}{\partial{n}}\right)\left.\right|_{\tau_{+}}=-\left(\frac{\partial\varphi}{\partial{n}}\right)\left.\right|_{\tau_{-}}
\end{equation}

偶对称边界条件

开放边界条件

匹配边界条件











